O Que Será Golígono ?

Autor: Pedro Luis Kantek Garcia Navarro

Não é um pássaro, nem um avião, nem o super - homem. É mais uma das provas de que a matemática segue prenhe de boas idéias, conceitos instigantes, fórmulas e algoritmos maravilhosos.

Um golígono é uma construção geométrica fechada, na qual segmentos de reta se ligam formando sempre 90 graus. Cada segmento do golígono é sempre maior do que o seu anterior em uma unidade. Cada ângulo, portanto, liga dois segmentos que diferem no comprimento em 1, exceto o último ângulo que liga o maior segmento do golígono ao menor.

Imaginemos as ruas de Curitiba, como regulares em ângulo e comprimento. Se você sair da esquina Getúlio Vargas com Mal. Floriano e andar 1 quarteirão na direção leste, virar na Santo Antônio (sul), andar 2 quarteirões, virar à direita (oeste) na Brasílio Itiberê, andar 3, virar à direita na Alferes Poli, andar 4, virar à esquerda na Iguaçu, andar 5 quarteirões, virar à esquerda (norte) na Desemb. Motta, andar 6 quarteirões, virar à direita na Mal. Deodoro (com outro nome), e andar 7 na direção leste até a Mal. Floriano, virar a direita (sul) e andar 8 quarteirões, terá chegado à esquina inicial (Getúlio com Floriano), e terá construído um polígono de 8 lados. Note que a quantidade de quarteirões percorridos é 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.

Parece que os golígonos foram inventados por Lee Sallows, engenheiro da Universidade Católica de Nijmegen, na Holanda, a partir de 1988. Ele só conseguiu descobrir um golígono de 8 lados, aquele que foi acima descrito, com certas liberalidades geográficas em relação a Curitiba. Ele pesquisou golígonos de 9, 10 e 11 lados e não encontrou nada. O próximo formador de golígonos é o de 16 (existem 28 golígonos de 16 lados), e depois o próximo patamar é o de 24 lados (existem 2.108 deles).

Uma maneira fácil de encontrar um golígono de K lados (onde K é múltiplo de 8: existe uma prova maravilhosa desta condição, mas não há espaço aqui para a demonstração), pode ser assim descrita:

1. Escreva um vetor de 1 a n (onde n=8K)
2. Divida o vetor assim formado em 4 partes, com o mesmo número de elementos em cada uma.
3. primeira e a última partes recebem sinal positivo, e as outras duas recebem sinal negativo.
4. Interprete o resultado como segue: Números ímpares positivos indicam caminhada na direção do norte; números ímpares negativos, indicam sul; números pares negativos, indicam oeste; números pares positivos, indicam leste. O resultado é sempre um golígono parecido com uma cobra, chamado, a propósito "snake golygon".

Estabelecida a condição 8k como suficiente, Sallows procurou descobrir como estabelecer o número de golígonos para cada valor de k. Ele pediu auxílio a Martin Gardner ( a suprema autoridade em matemática recreacional) e este pediu ajuda a ninguém menos que Donald Knuth, o terror de qualquer aluno de 2º e 3º anos de qualquer curso de computação. Mas, uma das mentes mais férteis nesse fértil filão. E que continua ativa, aprontando como nunca. (Quem tiver dúvida, leia seu último livro: Matemática Concreta, um cartapácio de mais de 500 páginas: ouro puro).

Knuth se interessou pelo problema e escreveu um programa de computador para contar golígonos. Por exemplo, descobriu existirem 127.674.038.970.623 golígonos de 64 lados.

Eles todos apresentaram suas descobertas em um artigo científico denominado "Serial Isogons of 90 Degrees". O nome já é instigante: significa existirem golígonos de 30º, 45º, 60º... qualquer quantidade de graus que você quiser.

Para saber mais: The Tinkertoy Computer de A. K. Dewdney.

kantek@lepus.celepar.br