Criptografia
A criptografia, que consiste na troca de informações sem que haja o comprometimento do sigilo, talvez seja tão antiga quanto a própria escrita.
Para criptografarmos algo, fazemos o uso de chaves, que permitem a codificação e a decodificação da informação.
Um exemplo de criptografia foi usado por Júlio César, que foi um grande Imperador de Roma, participou do primeiro triunvirato (junto com Pompeu e Crasso, em 60 a.C.) e foi assassinado no Senado em 44 a.C.. A chave utilizada por Júlio César era muito simples: desloca-se o alfabeto 3 letras e troca-as entre si.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
Por exemplo, se ele quisesse enviar a mensagem "Veni, vidi, vici", a mensagem criptografada seria "YHQL YLGL, YLFL".
Este tipo de criptografia é classificada como criptografia de chave simétrica, ou seja, que utiliza a mesma chave para codificar e decodificar a informação.
Outra história famosa, e real, sobre utilização da criptografia é a história de Billy, que durante a guerra pela independência dos Estados Unidos, entregou ao dono de um hotel onde se hospedara um envelope. Billy disse a ele, que era um homem de conhecida confiança na época, que se ele, Billy, não retornasse em 10 anos, o dono do hotel receberia um telegrama com instruções de o que fazer com aquele envelope. Além disso, Billy também disse que havia 3 folhas dentro do envelope, cada qual contendo uma parte da mensagem: a primeira dizia como, a segunda dizia o que e a terceira dizia a quem. Passaram-se 10 anos e nada de o dono do hotel receber o telegrama. Este homem, como era um homem de honestidade inquestionável, resolveu esperar mais tempo. Passaram-se mais 5 anos, então ele resolveu abrir o envelope. Dentro dele, foram encontradas 3 folhas, como Billy havia dito. Nessas folhas, havia números. Muitos números, separados por vírgulas. Era uma mensagem criptografada. Como decifrá-las, se as instruções nunca foram conhecidas? Muitas tentativas foram feitas, até que se conseguiu decifrar a segunda folha. Nela estava escrito que as folhas diziam respeito a valores de U$20.000.000,00. As outras duas folhas nunca foram decifradas.
O método que Billy utilizou para criptografar esta segunda folha foi o seguinte:
> a partir de um texto qualquer, numeram-se as palavras;
1- 2 ---3 -4--- 5----- 6----- 7------- 8---- 9
> cada número corresponde à primeira letra da palavra correspondente;
> cada letra pode ter mais de um número, onde pode ser usado qualquer um deles.
Neste caso, se quisermos enviar a mensagem "panda", devemos então enviar os números 9,1,7,3,1.
Billy utilizou, na ocasião, o texto da Declaração de Independência dos Estados Unidos. Quem conseguir decifrar as outras duas folhas pode ser contemplado com um tesouro de U$20.000.000,00.
Criptografia RSA
A criptografia RSA foi pensada por Rivest, Shamir e Adleman, sendo os dois primeiros da área da computação e o último, da área da matemática. Ela é uma criptografia de chave assimétrica, ou seja, utiliza uma chave pública e uma chave privada. A chave pública é utilizada para codificar e a chave privada para decodificar. O nome chave pública vem do fato de que você pode distribuir esta chave a qualquer pessoa sem comprometer a segurança dos dados ou da chave privada. Toda mensagem criptografada via RSA é decodificável sem a chave. Porém, a decodificação é inviável devido ao tempo que esta operação demoraria.
Por exemplo, se você usar SSH (Secure SHell), você pode mandar sua chave pública (por exemplo, o conteúdo do arquivo ~/.ssh/identity.pub) para um administrador de algum sistema que você queira acessar para colocar em seu arquivo ~/.ssh/authorized_keys. Para qualquer um que realmente queira acesso, é necessário que este alguém tenha a chave privada correspondente (por exemplo, o conteúdo decodificado de ~/.ssh/identity) para se identificar. Para proteger a chave privada, você deve entrar com uma passphrase para codificar a chave quando esta é guardada no sistema de arquivos. Isto previnirá que pessoas a utilizem, mesmo que consigam acesso a seus arquivos.
Quadro 1 - Exemplo de geração de chave RSA em uma shell linux
Toda comunicação é feita usando outros tipos de criptografia, como o IDEA ou outros (DES, RC4-128, TSS, Blowfish). A troca das chaves é feita usando RSA, e os dados usados para a troca da chave são destruídos a cada hora (as chaves não são salvas em lugar algum). Cada host tem uma chave RSA que é usada para autenticar o host quando a autenticação RSA é usada.
Quadro 2: Tipos de ataques que o SSH pode prevenir
Mas como funciona a criptografia RSA? Se você olhar na geração da chave SSH, verá que são gerados 2 números (p e q). Estes números são a base da criptografia RSA e devem ser dois primos grandes e com uma grande diferença numérica entre si.
A verificação para saber se um número n é primo ou não pode ser feita tirando-se a raiz quadrada de n e dividindo-o por todos os primos anteriores a este resultado.
Obs.: Número de primos menores que x ~ x/ln(x)
Exemplo 1: Verificar se 101 é primo ou não.
Solução: basta dividir 101 pelos primos 2, 3, 5 e 7. Se alguma dessas divisões for exata (inteira), então 101 não é primo. Se todas as divisões não são exatas, 101 é primo.
Exemplo 2: Verificar se r = 123456789012345678901234567890123456789012347 é primo ou não.
Solução: a partir de um certo ponto, é muito trabalhoso estabelecer a seqüência dos primos menores que raiz quadrada de r. Como r tem 45 algarismos, resulta que 10^44 < r < 10^45
Então 10 ^22 < raiz quadrada de r < 10^23.
Em vez de dividir r pelos números primos menores do que 10^2,3 podemos dividir r pelos números ímpares 1, 3, 5, 7, 9, 11 ... menores do que 10^23.
No caso de r ser primo, o número de divisões que é necessário efetuar está entre (10^22)/2 e (10^23)/2.
Suponhamos que um computador efetue 10^10 divisões por segundo.
1 ano tem 31.536.000 segundos. Então esse computador efetua 31.536.000*10^10 divisões em um ano, o que é menor que 10^18.
Se o computador efetuasse as 10^18 divisões em um ano, para efetuar (10^22)/2 divisões ele demoraria 5000 anos.
Se aumentarmos este número de 45 para 49 algarismos, conseqüentemente o tempo que esse computador levaria para determinar se tal número é primo ou não seria de 500.000.000 anos.
Tempos como estes são classificados como tempos não polinomiais.
Em Z(inteiros): Definição:
x 
y
(mod n) significa que x-y é múltiplo de n, ou,
x é côngruo com y (mod n).
Notação: x^y significa x elevado a y.
p*q significa q somado p vezes.
Obs.:
1) 3^7
31(mod 77) ------------------e
------------------ 31^43
3(mod 77)
2) p*q = n = 192343993140277293096491917 (27 algarismos, produto de 2 primos)
43^731
103730879700159299993828112^134482257019077958238644371
onde:
43 é a mensagem.
103730879700159299993828112 é a mensagem criptografada.
134482257019077958238644371 é a chave privada.
731 é a chave pública.
É claro que para a utilização prática, o número de algarismos de cada chave é bem maior. Quanto maior a chave, mais tempo alguém levaria para decodificar a mensagem.
Inversos Módulo N
Teorema:
Se mdc(a,n) = 1, então existe um único b entre 1 e n-1 tal que
a*b
diz-se então que b é o inverso de a módulo n, e se escreve
b = a^(-1) mod n
Exemplo: mdc(3,11) = 1.
Então existe um único b entre 1 e 10 tal que 3*b 1(mod
11).
Por tentativa, b = 4, ou seja,
3*4
4 = 3^(-1) mod 11.
Função Ø de Euler
Definição: (n em Z, n >= 1)
Ø(n) = número de inteiros s tais que 1 <= s <= n-1 e mds(s,n) = 1.
Exemplos: Ø(5) = 4, Ø(25) = 20, Ø(8) = 4.
Propriedades:
1) Ø(p) = p-1 e Ø(p^n) = p^(n-1) se p é primo,
2) Ø(a*b) = Ø(a)*Ø(b), a e b quaisquer >= 1.
3) Ø(a1*a2*a3*...*an) = Ø(a1)*Ø(a2)*Ø(a3)*...*Ø(an), a1...na quaisquer >= 1.
Teorema (Fundamentação para RSA):
Sejam n, p, q, a, b inteiros positivos, tais que
p e q são primos,
n = p*q,
ab
Nessas condições,
Se m^b
Para um usuário, digamos José, receber mensagens criptografadas, ele deve obter números inteiros positivos n, p, q, a, b, tais que:
p e q são primos
n = p*q
a*b
n e a são chaves públicas de José.
b é a chave secreta de José.
p e q são secretos (somente José os conhece).
Para Alice codificar uma mensagem m pertencente a Z (inteiros), (2 <= m <= m-2), ela calcula
y = m^a(mod n).
y é a mensagem codificada, a qual é enviada para José.
Para José decodificar y, ele usa sua chave secreta b e calcula
y^b (mod n)
e encontra m, conforme teorema anterior (Fundamentação para RSA).
Para algum intruso conseguir decifrar esta mensagem, ele deveria conhecer a chave b.
Para isto:
1) Ele precisa obter Ø(n). Tendo Ø(n) e usando a chave pública a, ele calcula b = a^(-1) (mod Ø(n)).
2) Para obter Ø(n), ele precisa conhecer p e q, pois Ø(n) = (p-1)*(q-1).
3) Para obter p e q, ele precisa fatorar n, pois n = p*q.
Fato: com a tecnologia e os algoritmos conhecidos nos dias de hoje, a fatoração de n não poderá ser feita em tempo polinomial se:
1) p e q tiverem cerca de 130 algarismos cada um no sistema decimal.
2) p e q não podem estar próximos um do outro, isto é, a diferença entre p e q deve ser relativamente grande.
3) p-1 deve ter um fator primo grande.
4) q-1 deve ter um fator primo grande.
Se José escolhe p e q sob as condições acima, então um intruso não consegue fatorar n em tempo polinomial; logo, não obtém Ø(n); logo, não obtém b; logo, não consegue decodificar y.
Referências:
A Course in Number Theory and Cryptography, Neal Koblitz.
Criptography - Theory and Practice, Douglas R. Stinson.
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